1) Действия с матрицами. свойства.
Линейные операции:
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = λaij
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
A + Θ = A
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Нелинейные операции:
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность MxN, B — NxK , то размерность их произведения AB = C есть MxK.
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
Свойства операций над матрицами
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: A*B НЕ РАВНО B*A.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
